Zestaw 6.
6.1. Betelgeza, kiedy wreszcie wejdzie w stadium supernowej, na czas kilku dni osiągnie jasność nawet 10 miliardów Słońc. Z perspektywy obserwatora na Ziemi będzie to, rzecz jasna, o wiele mniej. Jaka będzie ilość energii dostarczona przez Betelgezę na Ziemię? Czy jesteśmy bezpieczni w przypadku supernowej? Załóż, że Betelgeza znajduje się 640 lat świetlnych stąd i że po drodze światło nie napotka na żadną przeszkodę. Pomiń wpływ atmosfery Ziemi. Wynik podaj w W/m². Dla uproszczenia możesz założyć, że stała słoneczna wynosi 1360 W/m². [max 5 pkt]
6.2. Wiedza o tym, jak "działa" Słońce, rozwijała się przez ostatnie 300 lat powoli. Przyspieszenie nastąpiło dopiero po zrozumieniu procesów kwantowych zachodzących w rdzeniu gwiazdy. Fakt, że Słońce miało w planach żyć spokojnie przez 10 miliardów lat, odkryliśmy niespełna 80 lat temu. Wcześniejsze pomysły o tym, skąd Słońce bierze energię do świecenia, czerpały inspirację z przeróżnych źródeł: od termodynamiki począwszy, a na Biblii skończywszy.
Jednym z bardziej uznanych pomysłów było wyświecanie energii, która została zebrana na drodze grawitacyjnego zapadania się obłoku gazu, jakim Słońce miało być w odległej przeszłości. Czas "życia" gwiazdy, która posiłkuje się wyłącznie takim praźródłem energii nazywany jest "czasem termicznym", lub "skalą Kelvina-Helmholtza". Znając jasność Słońca, L, oraz zgromadzoną w nim grawitacyjną energię potencjalną, (G*M²)/R, wyznacz jak długo nasza gwiazda dzienna będzie wyświecała posiadaną obecnie energię. Załóż, że Słońce będzie świeciło ze stałą jasnością i nie wyprodukuje w międzyczasie więcej energii. Pamiętaj, że jasność to utrata energii w czasie. Pamiętaj o jednostkach! Wynik podaj w latach. Oprócz wyniku podaj wartości L, G, R i M, jakich używasz w zadaniu. Najłatwiej będzie korzystać z jednostek SI (czyli np. jasność L w watach). [max 4 pkt]
6.3. [Zadanie praktyczne] Kiedy przychodziło zrobić egzamin, Pan Achiewicz był bardzo praktyczny. Wymyślanie zadań do policzenia, czy skomplikowanych testów nigdy nie wchodziło w rachubę. Profesor nie powinien przecież pracować nad egzaminem dłużej, niż student, który do tego egzaminu będzie podchodził. Studenci nie za bardzo lubili tych egzaminów, bo trzeba było na nich zmusić się do użycia wiedzy i logiki. Co gorsza, należało użyć ich jednocześnie. Normalnie nie byłoby z tym problemów, wszak studenci to zmyślne i inteligentne bestie, ale kiedy się było sam na sam w gabinecie z Panem Achiewiczem, to można było odczuć cień stresu. A stres odcinał logikę i wymazywał wiedzę. Achiewicz zdawał sobie sprawę z nieuzasadnionego lęku studentów, dlatego pozwalał im korzystać z książek i notatek.
Kiedy więc zakończył się kurs z układów podwójnych gwiazd, Pan Achiewicz zaprosił studentów na grupowy egzamin przypominając główne tematy z minionych zajęć: układy zaćmieniowe, rodzaje krzywych blasku, pociemnienie brzegowe gwiazd i tak dalej. W dniu egzaminu studenci otrzymali od Achiewicza
wydruk z wykresem, na którym znajdowała się krzywa zmienności blasku układu zaćmieniowego dwóch gwiazd. Widać było wyraźnie, jak w fazie orbitalnej 0.0 następuje minimum blasku spowodowane zaćmieniem jednej gwiazdy przez drugą; w fazie 0.5 (tj. "pół orbity później") następuje odwrotne zaćmienie - drugiej gwiazdy przez pierwszą, a w fazach 0.25 i 0.75 blask układu był największy, bo obydwie gwiazd się nie zasłaniały i były widoczne jednocześnie, z boku. Faza orbitalna 1.0 była w esencji tym samym, czym faza 0.0, więc następowało w niej jedno i to samo minimum blasku. Wykres przedstawiał jednak ciekawą rzecz: jedno minimum blasku posiadało płaskie dno, a drugie minimum było półokrągłe, w kształcie litery "U". Achiewicz zadał studentom następujące zadanie:
"Układ dwóch gwiazd, którego krzywa blasku znajduje się na wykresie, składa się z dwóch obiektów o bardzo różnych rozmiarach. Jedna gwiazda jest mała, a druga jest duża. Układ ten, widziany przez obserwatora na Ziemi, doświadcza szczególnych zaćmień: raz dochodzi do tranzytu jednej gwiazdy na tle drugiej, a raz następuje całkowite zaćmienie drugiej gwiazdy przez pierwszą. Wskaż na wykresie, które minimum zostało spowodowane przez tranzyt, w które przez całkowite zaćmienie. Wytłumacz kształt dna obydwu minimów. Załóż, że gwiazdy mogą mieć dowolne temperatury, więc nie możesz sugerować się głębokością zaćmień. Podpowiedź: gwiazdy to kule gazowe."
Wykonaj zadanie, jakie otrzymali studenci. [max 6 pkt]
Termin nadsyłania odpowiedzi:
poniedziałek, 7 września 2020, 23:59 CEST
Zestaw 5.
5.1. Planeta Tres-1b została odkryta metoda tranzytów, czyli przez zauważenie, że blask jej gwiazdy macierzystej cyklicznie spada na około dwie godziny. Spadek blasku jest spowodowany zaćmieniem drobnej części tarczy gwiazdy prze tranzytująca na jej tle planetę. Podobne zjawisko możemy dostrzec z Ziemi, kiedy Wenus lub Merkury przelatują na tle Słońca. Wylicz, jaka musiałaby być średnica teleskopu potrzebnego do zaobserwowania planety Tres-1b tranzytującej na tle jej gwiazdy macierzystej w taki sam sposób, jak widzimy tranzytującego Merkurego. Przyjmij, że teoretyczna zdolność rozdzielcza teleskopu powinna być taka, jaką jest rozmiar kątowy planety Tres-1b widocznej z Ziemi. Możesz posłużyć się kryterium zdolności rozdzielczej Rayleigha. Przyjmij, że obserwacje będa wykonywane w świetle widzialnym o fali długości 0.00000055 metra (550 nm). Przyjmij, że średnica planety Tres-1b wynosi 150 000 km, a jej gwiazda macierzysta znajduje się 520 lat świetlnych stąd. [max 5 pkt]
5.2. Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi g=9.81 m/s². Zaniedbując istnienie innych obiektów we Wszechświecie, znajdź najbliższy punkt dla obserwatora na powierzchni Ziemi, w którym przyspieszenie grawitacyjne pochodzące wyłącznie od naszej planety będzie wynosiło g = 0. [max 3 pkt]
5.3. [Zadanie praktyczne] W tym semestrze Pan Achiewicz prowadził kurs o historii Wszechświata, na który zapisali się wszyscy studenci z ostatnich lat studiów astronomicznych. Cała szóstka pilnie słuchała Achiewicza, który opowiadał o wczesnych latach Wszechświata. A czynił to tak żywo, że można by go posądzić, jakoby osobiście był świadkiem Pierwotnej Nukleosyntezy.
Pewnego dnia Achiewicz opowiadał o "Wiekach Ciemnych", czyli okresie we Wczesnym Wszechświecie, kiedy był on cały wypełniony neutralnym wodororem. Taki gazowy Wszechświat był nieprzezroczysty dla światła, więc wszystko było pogrążone w wiecznej kosmicznej mgle. Był to czas, kiedy pierwsze gwiazdy dopiero się rodziły i podgrzewały otaczającą je wszechobecną wodorową chmurę. Minęło sporo czasu, zanim światło gwiazd spowodowało zjonizowanie się niemal całego wodoru we Wszechświecie. Przez taki zjonizowany wodór (który sprowadza się do rzadkiej mieszaniny protonów i elektronów) światło przechodzić mogło już bez większych przeszkód. Wszechświat zaczął się przejaśniać i zaczęło być widać gwiazdy razem z gęsto rozmieszczonymi na niebie galaktykami. Kiedy Wieki Ciemne ustały, zakończyła się tak zwana "ponowna jonizacja" Wszechświata.
Achiewicz przerwał w tym miejscu swoje opowiadanie i obudził rozmarzonych studentów zadając im zadanie do wykonania. Cała grupa musiała ustalić, kiedy Wszechświat zaczął być przezroczysty. Studenci mieli to ustalić wykonując obserwacje najodleglejszych znanych obiektów: kwazarów. Achiewicz podpowiedział im, że im głębiej patrzą we Wszechświecie, tym spoglądają bardziej w jego przeszłość. Powinni się zatem spodziewać, że przy obserwacjach widma kwazarów będą widzieli tym więcej ubytków światła, im bardziej wstecz w czasie będą patrzeć (pojawiały się nazwy "linie absorpcyjne" i "las Lyman-alfa"). Co więcej, w pewnej ekstremalnej odległości, ubytków światła będzie tak dużo, że jego ilość spadnie niemalże do zera (tu Achiewicz przytoczył anegdotkę z 1965 roku o wyjściu do pubu nieopodal kampusu CalTechu z niejakimi Jamesem Gunnem i Brucem Petersonem). To ta odległość będzie mogła być uznana za ostatni moment Wieków Ciemnych, czyli nastanie "epoki ponownej jonizacji".
Studenci wykonali obserwacje i szczęśliwie, jeden z kwazarów wykazał takie niemal całkowite "wyjedzenie" światła. Aby znaleźć czas, w którym to światło zostało wysłane, Achiewicz polecił studentom, by wyznaczyli tzw. parametr "z" (przesunięcie ku czerwieni, redshift), a następnie użyli go w kalkulatorze kosmologicznym.
Twoim zadaniem jest ustalić, na jakiej odległości "z" widać, że Wszechświat znajduje się "epoce ponownej jonizacji". Ustal to za pomocą obserwacji sześciu obiektów na sześciu różnych odległościach "z", wykonanych przez studentów
(link -tutaj-). Użyj kalkulatora kosmologicznego
(link -tutaj-) do znalezienia czasu ("Age at redshift z [...]"), kiedy to wydarzenie miało miejsce (wpisz "z" do kalkulatora przy założeniu że pozostałe wartości są w porządku, a Wszechświat jest "płaski"). Podaj parametry, które użyte były przez Ciebie w kalkulatorze. Podaj wiek Wszechświata w czasie epoki ponownej jonizacji. [max 7 pkt]
Termin nadsyłania odpowiedzi:
poniedziałek, 31 sierpnia 2020, 23:59 CEST
Zestaw 4.
4.1. Sygnał radiowy z Ziemi rozchodzi się z prędkością światła. Nasza planeta znajduje się w środku bąbla o promieniu około 90 lat świetlnych, na zewnątrz którego nikt nie mógł odebrać sygnału z Ziemi, bo ten tam jeszcze nie doleciał. Jednak prędkość sygnału to nie jedyne jego ograniczenie. Drugim jest moc sygnału, która maleje z kwadratem odległości od źródła. Ponadto, Wszechświat wypełniony jest radiowym szumem, który nazywamy Promieniowaniem Reliktowym (Cosmic Microwave Background). Można więc śmiało założyć, że istnieje taka odległość, w której sygnał radiowy wysłany z Ziemi staje się na tyle słaby, że ginie on w reliktowym szumie. Twoim zadaniem jest znaleźć tę odległość. Przyjmij, że nadajnikiem na Ziemi jest maszt radiowy na podkrakowskiej Chorągwicy, którego moc wynosi 120 kW. Maszt nadaje symetrycznie we wszystkiej kierunkach, dlatego jasność obserwowana w dowolnym punkcie daje się wyznaczyć z relacji: B = L/4/Pi/(d²), gdzie L to moc nadajnika, B to jasność obserwowana (w watach na metr^2), a d to odległość w metrach. Przyjmij, że kosmici chcący posłuchać radia RMF korzystają z ultranowoczesnej anteny, dla której jasność szumu promieniowania reliktowego wynosi 10⁻³² wata na metr². W jakiej największej odległości mogą znajdować się kosmici, żeby mogli usłyszeć krakowskie radio? Wynik podaj w latach świetlnych. Skomentuj wynik pokrótce. [max 4 pkt]
4.2. Co to znaczy, że "pulsar posiada jasność pół kraba"? [max 2 pkt]
4.3. W jaki sposób terminator pomógł zmierzyć wysokość gór na Księżycu? [max 2 pkt]
4.4. Uzasadnij, dlaczego nie obserwujemy zielonych gwiazd. [max 2 pkt]
4.5. [Zadanie praktyczne] Pan Achiewicz był na urlopie. Dla niego oznaczało to, że mógł wreszcie popracować w spokoju. Jednego wieczora odpisywał na list swojego siostrzeńca, który pytał go: "dlaczego planety są w takiej odległości od Słońca, w jakiej są". Achiewicz nie chciał rozpisywać się na temat skomplikowanych rezonansów grawitacyjnych, ale i tak to bezwiednie zrobił. Przechodził właśnie do opisania reguły Titiusa-Bodego, kiedy wziął był łyk swojego ulubionego belgijskiego piwa i wtem jego uwagę przykuła etykieta na butelce trunku. W te pędy sięgnął po ostatni artykuł dotyczący gwiazdy TRAPPIST-1 oraz układu siedmiu planet, które wokół niej krążą. Automatycznym ruchem naszkicował osie i wykonał na szybko diagram Titiusa-Bodega dla tego układu. Następnie w pośpiechu chwycił za telefon i zapowiedział się w obserwatorium na Hawajach, gdzie ma zamiar zweryfikować swoje nowe domysły. Wydawać by się mogło, że Achiewicz w roztargnieniu zapomniał, że ma odpoczywać. Nic bardziej mylnego! Znamienity astronom wiedział doskonale, że urlop jest konieczny. Ale jeśli już musi odpoczywać, to niech ten czas będzie chociaż spędzony przyjemnie.
Wykonaj diagram przedstawiający regułę Titiusa-Bodego dla Układu Słonecznego, a następne ten sam diagram dla układu TRAPPIST-1 i porównaj je ze sobą. Zaproponuj, jakie odkrycie mógł mieć na myśli Pan Achiewicz po tym, jak zobaczył ten diagram dla układu TRAPPIST-1. [max 5 pkt]
Pytanie dodatkowe: Jakie piwo pił pan Achiewicz? [1 pkt]
Termin nadsyłania odpowiedzi:
poniedziałek, 24 sierpnia 2020, 23:59 CEST
Zestaw 3.
3.1. [Eksploracja] W ciągu ostatnich 60 lat Ludzkość aktywnie bada Układ Słoneczny wysyłając swoje maszyny na inne ciała niebieskie. Wymień wszystkie ciała niebieskie, na powierzchni których obecnie można znaleźć elementy lub szczątki ziemskiej technologii (nie licząc samej Ziemi). [max 3 pkt]
3.2. [Układ Słoneczny] Jakie warunki musi spełnić ciało niebieskie, żeby wpisało się w obecną definicję planety? [max 2 pkt]
3.3. [Kosmologia] Stała Hubble'a mówi, z jaką prędkością narasta ilość przestrzeni pomiędzy dwoma oddalonymi od siebie punktami. Jej wartość wynosi około 67 km na sekundę na megaparsek. Oznacza to, że w każdej sekundzie pomiędzy dwoma punktami oddalonymi o jeden megaparsek, przyrasta 67 kilometrów przestrzeni. Innymi słowy, dwa obiekty oddalone od siebie o jeden megaparsek będą odciągane od siebie wzajemnie z prędkością 67 km na sekundę wyłącznie z powodu ekspansji przestrzeni między nimi. W jakiej odległości powinny znajdować się dwa ciała, żeby ekspansja przestrzeni spowodowała oddalanie się tych ciał od siebie z prędkością równą prędkości światła? Przyjmij, że prędkość światła to 300 000 km/s, jeden megaparsek to milion parseków, a jeden parsek to 3,26 roku świetlnego. Wynik podaj w latach świetlnych. Skomentuj, czy ta wielkość wydaje się czemuś podobna. [max 2 pkt]
3.4. [Wszechświat] "Dlaczego niebo nocą jest czarne?", czyli opisz, na czym polegał tzw. Paradoks Olbersa i co miał udowadniać. [max 3 pkt]
3.5. [Zadanie praktyczne] Wybitny astronom, Pan Achiewicz, przepytywał studenta podczas egzaminu z Podstaw Astronomii. Egzamin odbywał się u niego w gabinecie. W pewnym momencie do gabinetu wszedł profesor Stafylin, niosąc ze sobą duży i ciężki obiektyw jednego z naprawianych teleskopów. Stafylin doniósł ciężar na biurko i stęknął:
- "Trzeba coś wymyślić, żeby te rzeczy były kiedyś lżejsze!"
Pan Achiewicz, zirytowany przerwą w egzaminie, bąknął tylko pod nosem, wyrażając zwyczajowo akademickie podejście do praktycznych zagadnień:
- "Zrób tak, żeby Ziemia kręciła się szybciej, to siła odśrodkowa skompensuje ci grawitację"
- "Niby do jakiej prędkości miałbym rozkręcić całą planetę, żeby ten obiektyw nic nie ważył?" - spytał bez większej refleksji zmachany profesor. W ułamku sekundy rozgorzała głośna dyskusja, która szybko zmieniła się w kłótnię. Pan Achiewicz upierał się:
- "Wystarczy przyrównać siłę grawitacji Ziemi do siły odśrodkowej i stąd, explicite, mój drogi Stafylinie, dostaniesz prędkość liniową na równiku, której poszukujesz". Z kolei Michał Stafylin, specjalista od asteroid, twierdził, że:
- "O wiele łatwiej będzie policzyć, jak najszybciej może kręcić się Ziemia, zanim zacznie się rozpadać, bo jej rozpadanie się będzie spowodowane właśnie siłą odśrodkową! Najkrótszy okres rotacji dla asteroid, zanim zacznie się taka rozpadać, to 3,3 godziny podzielone przez pierwiastek jej średniej gęstości. Na pewno to równanie mozna użyć w przypadku Ziemi. Podzielisz długość równika przez wyliczoną liczbę godzin i masz wynik! Ale po co ja ci to mówię, miły Achiewiczu, przecież to jest trywialne!" Wtem, obaj profesorowie zdali sobie sprawę, że w gabinecie brakuje studenta. Obydwaj zauważyli też małą kartkę leżącą na biurku przy którym siedział jeszcze niedawno student. Nie było żadnych obliczeń, a jedynie trzy słowa, po przeczytaniu których zarówno Achiewicz, jak i Stafylin w zażenowaniu zamilkli. Stafylin cichaczem wyszedł z gabinetu, a Pan Achiewicz bez słowa sięgnął po protokół i wpisał studentowi ocenę 5.0 z egzaminu.
Wylicz prędkość, jaką Ziemia musiałaby mieć na równiku, żeby znajdujące się tam przedmioty nic nie ważyły. Wykonaj to zadanie:
- metodą Pana Achiewicza [max 1.5 pkt]
- metodą Michała Stafylina [max 1.5 pkt]
- i zgadnij, jakie trzy słowa zostały napisane przez studenta na kartce [max 2 pkt]
Termin nadsyłania odpowiedzi:
poniedziałek, 17 sierpnia 2020, 23:59 CEST
Zestaw 2.
2.1. Meteory to zjawiska atmosferyczne będące świeceniem gazów i plazmy na skutek przejścia meteoroidu przez atmosferę. Jaki mechanizm jest przyczyną tego świecenia? Opisz go własnymi słowami. [max 3 pkt]
2.2. Kometa F3 Neowise od niedawna jest wyraźnie zielono-niebieska. Wskaż prawdopodobny powód zmiany barwy komety z białawego na zielono-niebieski. [max 2 pkt]
2.3. Opisz pokrótce eksperyment Ole Roemera. Co ten eksperyment miał udowodnić? [max 3 pkt]
2.4. Są dwa teleskopy: Luneta (prosty refraktor typu Galileusza) oraz teleskop o budowie Newtona. Obydwa teleskopy mają te same apertury, te same ogniskowe i te same okulary. Który z tych teleskopów dostarczy więcej światła do oka obserwatora? Uzasadnij swoją odpowiedź. [max 3 pkt]
2.5. [Zadanie praktyczne] Pan Achiewicz, zapalony obserwator, zapragnął iście astronomicznych wakacji. Zaplanował miejsca i czasy czterech urlopów tak, żeby mógł zaobserwować przejście wybranych, bardzo jasnych gwiazd dokładnie przez zenit. I tak, czas równonocy wiosennej Pan Achiewicz spędził na plaży w Rozewiu, na czas przesilenia letniego pojechał do lasu Pałeckiego pod Lubartowem, równonoc jesienną spędził biwakując na południowym krańcu Połoniny Caryńskiej, a przesilenie zimowe przesiedział popijając gorące herbaty z miodem u znajomego w Anielinie pod Okonkiem. W każdym z tych miejsc obserwował przejście innej, jasnej gwiazdy przez zenit. Jakie cztery jasne gwiazdy zaobserwował Pan Achiewicz? Przyjmij, że obserwacje były wykonane gołym okiem, a gwiazdy w trakcie górowania były nie dalej niż kilka minut łuku od zenitu. [max 4 pkt]
Termin nadsyłania odpowiedzi:
poniedziałek, 10 sierpnia 2020, 23:59 CEST
Zestaw 1.
1.1. Słońce - "płonąca kula gazowa oddalona o miliony mil". Źródłem energii naszej gwiazdy dziennej jest zamiana wodoru w hel, w trakcie której część materii jest zmieniana w energię. Znając jasność Słońca, wylicz, ile kg materii wyświeca i traci ono w ciągu jednej sekundy. Porównaj wynik z utratą masy przez Słońce w drodze wywiewania swojej materii w wietrze słonecznym (milion ton na sekundę). [max 3 pkt]
1.2. Bardzo masywna gwiazda w trakcie ciągłej obserwacji zaczęła przechodzić stadium supernowej. Zakładając, że dysponujemy absolutnie doskonałymi odbiornikami, w jakiej kolejności zaobserwujemy informację o tym wydarzeniu? Odbiorniki do dyspozycji odbierają: 1) fotony (światło) 2) fale grawitacyjne, 3) neutrina. [max 2 pkt]
1.3. Paweł i Gaweł założyli się, który z nich pierwszy zaobserwuje wschód Słońca w Krakowie w dniu równonocy jesiennej. Paweł pojechał do Obserwatorium Astronomicznego UJ i czekał na wschód Słońca na tarasie Fortu. Gaweł, który mieszka w Nowej Hucie, wybrał się na kopiec Wandy, na szczycie którego czekał na wschód. Zakładając, że obydwa punkty obserwacyjne są na tej samej wysokości nad poziomem morza oraz posiadają czysty, równy horyzont, ustal, który z nich zobaczy Słońce wyłaniające się znad horyzontu jako pierwszy. O ile wcześniej jeden z nich zaobserwuje Słońce? Wynik podaj w sekundach. [max 3 pkt]
1.4. Które z wymienionych gwiazdozbiorów istnieją i są widoczne na polskim niebie? Smok, Pompa, Wilk, Ryba Południowa, Mały Wóz, Delfin, Źrebię, Góra Stołowa, Wąż Wodny, Plejady [max 3 pkt]
1.5. [Zadanie praktyczne] Saturn i Jowisz są obecnie bardzo blisko siebie na niebie. Za niedługo odległość między nimi na niebie będzie mniejsza niż odległość między księżycami Jowisza. Podaj najbliższą datę, kiedy te dwie planety będą tak blisko siebie na polskim niebie. Możesz pomylić się o jeden dzień. Jakie inne wydarzenie astronomiczne ma miejsce w tym samym czasie? [max 4 pkt]
Termin nadsyłania odpowiedzi:
poniedziałek, 3 sierpnia 2020, 23:59 CEST 